Su carrera deportiva comenzó cuando tenía 7 años, en un torneo de karts regional. Entre 2013 y 2014 compitió en campeonatos y entre otros títulos, ganó el Campeonato Mundial KF y se convirtió en el piloto más joven en obtener un título en el Mundial de la CIK-FIA.

En su primer año en monoplazas, Norris se coronó en un campeonato de F4 británico. Además ganó 2 de las 4 carreras que compitió en el Trofeo de Invierno de BRDC Fórmula 4 de ese año.

En 2016 participó en Formula Renault 2.0, en los campeonatos NEC y Eurocopa con el equipo Josef Kaufmann, donde fue campeón de ambos.

A finales de 2017 competió en el Campeonato de F2 2018 donde ganó su carrera debut y subió al podio en otras 8 oportunidades.

Luego de obtener el Campeonato Europeo de Fórmula 3, Norris ingresó al Programa de Jóvenes Pilotos de McLaren Programa de Jóvenes Pilotos de McLaren.

Desde 2019, el británico es compañero en McLaren de Carlos Sainz Jr.